domingo, 27 de mayo de 2012

Ejemplos de Exponentes:

1. 5³ = 5 · 5 ·5 = 125

2. 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

3. (-4)² = (-4) · (-4) = 16

Reglas de los Exponentes:

Regla #1

aⁿ · a^m = a ^n+m

Esta regla establece que en multiplicación, cuando las bases son iguales, los exponentes se suman.

Ejemplos:

a. 2² · 2¹ = 2 ²⁺¹ = 2³ = 8 ( 2 ²· 2¹= 2 · 2· 2 = 2 ³)

b. x³ · x⁴= x ³⁺⁴ = x⁷ ( x³· x⁴ = x · x · x · x · x · x · x = x⁷)

Regla #2

(aⁿ)^m = a^nm

Esta regla establece que cuando un exponente está afuera, y uno dentro del paréntesis, se multiplican.

Ejemplos:

a. (a²)³ = a ^2·3 = a⁶ [ (a²)³ = a² ·a² ·a² ;( pero por la regla #1) = a⁶ ]

b. (2²)³ = 2 ^{2 · 3} = 2⁶ = 64 ó (2 ²)³ = (4) ³ = 64
[ (2²)³ = 2² · 2² · 2² = 2⁶]

Regla #3:

(ab)ⁿ = a^{n ·}bⁿ

Cuando hay un producto con un exponente afuera, el exponente le corresponde a cada término; en este caso, a y b.

Propiedades de la función logarítmica

El dominio de la función $\ln(x)\,$ definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
$\ln\,(x)\,$ es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
Tiene límites infinitos en $0^+\,$ y en $+\infty\,$ .
El valor $\ln (1) = 0$
La tangente $T_e\,$ que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
La tangente $T_1\,$ que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: $y = x - 1\,$ .
La derivada de primer orden es $\ln^\prime (x) = \frac {1}{x}$ .
La derivada de segundo orden es $\ln^{\prime\prime} (x) = {-1}/{x^2}\,$ , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( $\swarrow\,$ ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con $T_1\,$ y $T_e\,$ .
La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial: $f(x) = e^x\;\,$ .

domingo, 6 de mayo de 2012

Función exponencial

Funciones exponenciales
Gráfica de Funciones exponenciales
Definición	$e^x , \exp(x)\,$
Tipo	Función real
Dominio	$(-\infty,+\infty)$
Codominio	$(0,+\infty)$
Imagen	$(0,+\infty)$
Propiedades	Biyectiva Convexa Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	$e^x \,$
Función primitiva	$e^x \,$
Función inversa	$\ln(x)\,$
Límites	$\lim_{x\to -\infty}\exp(x)= 0\,$ $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty\,$
Funciones relacionadas	Logaritmo

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma