Para encontrar máximos y mínimos es necesario derivar y encontrar las raíces.

f(x)= 3x^5 + 5x^3
derivando
f'(x)= 15x^4 + 15x^2
Hay que resolver esta ecuación..
15x^4 + 15x^2=0
factorizamos x^2
x^2(15x^2 +15)=0

esto significa por una lado
1)x^2=0 y
2)15x^2 +15

de 1) x=0
resolviendo 2)15x^2 +15=0
x^2=-1 que obviamente no tiene solución, al menos en los reales.

Por lo tanto la única raíz es x=0, para averiguar si es máximo o mínimo hay que evaluar EN LA ECUACION ORIGINAL un punto a la izquierda y uno a la derecha de la raiz de preferencia muy muy cerca a la raiz.
tomemos -1 y 1

f(x)= 3x^5 + 5x^3
f(-1)= 3(-1)^5 + 5(-1)^3= -3 -5 = -8
este valor es la pendiente justo antes de llegar al punto (0),
el hecho de que sea negativo significa que va "bajando"

f(1)= 3x^5 + 5x^3
f(1)= 3(1)^5 + 5(1)^3= 3 +5 = 8
como la pendiente es positiva ent después del punto (0)
la curva empieza a subir, por lo tanto si primero baja llega al punto y sube significa que es un mínimo.

Si por el contario fuera (+) y luego (-) indicaria un máximo.

Este es el método para cualquier ecuación sólo hay q derivar y a la derivada sacarle las raíces, por cada raíz hay q determinar si es máx o mín.............