Velocidad media

La 'velocidad media' o velocidad promedio es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr) entre el tiempo (Δt) empleado en efectuarlo:

(1)

Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar).
Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se escribe en la forma:

(2)

La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está exenta de ambigüedades.
El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 10 metros en un lapso de 3 segundos, el módulo de su velocidad media sobre la trayectoria es:

Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático

Ejemplo de aplicación de un cálculo algebraico a la resolución de un problema según la interpretación de una teoría física La expresión del cálculo algebraico , indica las relaciones sintácticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno. Pero si interpretamos como espacio, como velocidad y como tiempo, tal ecuación modeliza una teoría física que establece que el espacio recorrido por un móvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento. Al mismo tiempo, según dicha teoría, sirve para resolver el problema de calcular cuántos kilómetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido. 240 kilómetros recorridos = 60 km/h x 4 h

Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.
Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:

1. Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.
2. Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.

Resultado que es:

Conclusión de un proceso de razonamiento.

Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resolución de problemas).

Modelo de relaciones previamente establecido como teoría científica y significativo respecto a determinadas realidades (Creación de modelos científicos).

Mero juego formal simbólico de fundamentación, creación y aplicación de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Cálculo lógico-matemático, propiamente dicho).

Dada la importancia que históricamente ha adquirido la actividad lógico-matemática en la cultura humana el presente artículo se refiere a este último sentido. De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este ámbito de aplicación; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de cálculo matemático, pues en algunas universidades se llamaba "Cálculo" a una asignatura específica de cálculo matemático (como puede ser el cálculo infinitesimal, análisis matemático, cálculo diferencial e integral, etc.).

En un artículo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el cálculo lógico-matemático en la actualidad. Aquí se expone solamente el fundamento de sus elementos más simples, teniendo en cuenta que sobre estas estructuras simples se construyen los cálculos más complejos tanto en el aspecto lógico como en el matemático.

Serie matemática

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a₁ + a₂ + a₃ + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Sucesión matemática

Una sucesión infinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es una sucesión de Cauchy. Sin embargo, sí es una sucesión acotada.

En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...
En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Función monótona creciente.

Función monótona decreciente.

Función monótona

  una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en cálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

Definición general

Sea

una función entre dos conjuntos P y Q, donde cada conjunto tiene un orden parcial (los dos se denotarán por ≤). En cálculo se habla de funciones entre subconjuntos de los reales, y el orden ≤ no es otro que el orden usual de la recta real, aunque esto no es esencial para la definición.
La función f es monótona si y sólo si x ≤ y implica f(x) ≤ f(y) (es decir, la función es creciente), o bien x ≤ y implica f(x) ≥ f(y) (es decir, la función es decreciente). En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden.

Monotonicidad en cálculo y análisis

En cálculo no hay usualmente necesidad de invocar los métodos abstractos de la teoría del orden. Como ya se señaló, las funciones se establecen entre (subconjuntos de) números reales, ordenados de forma natural.
Por la forma de la gráfica de una función monótona en los reales, tales funciones se llaman también monótonamente crecientes (o no decreciente), respectivamente.

Ejemplo gráfico

A continuación se muestran tres gráficas de funciones cualesquiera. La primera de ellas es una función estrictamente creciente por la izquierda y por la derecha, mientras que es constante en el medio; por lo demás, es creciente pues conserva el orden ascendente durante todo el recorrido de la función. La segunda de ellas es escrictamente decreciente por la izquierda y por la derecha, puesto que conserva el orden descendente durante todo el recorrido de la función. La última de ellas es una función con un recorrido con partes donde la función es creciente y partes donde es decreciente (presenta máximos y mínimos relativos).
 

Cálculo de límites Polinomios Ver página sobre límites de polinomios por detalles. limx->a P(x) = P(a) Ejemplo: limx->2 x2 - 3x + 4 = 2 limx->inf P(x) = limx->inf anxn Ejemplo: limx->+inf -3x3 + x2 - 2x + 1 = limx->+inf -3x3 = -inf A(x) | A(α) lim ---- = | 1) ---- si B(α)≠0 x->α B(x) | B(α) | 2) inf si B(α)=0 y A(α)≠0 | 3) INDETERMINADO de la forma 0/0 | si B(α)=0 y A(α)=0

Para encontrar máximos y mínimos es necesario derivar y encontrar las raíces.

f(x)= 3x^5 + 5x^3
derivando
f'(x)= 15x^4 + 15x^2
Hay que resolver esta ecuación..
15x^4 + 15x^2=0
factorizamos x^2
x^2(15x^2 +15)=0

esto significa por una lado
1)x^2=0 y
2)15x^2 +15

de 1) x=0
resolviendo 2)15x^2 +15=0
x^2=-1 que obviamente no tiene solución, al menos en los reales.

Por lo tanto la única raíz es x=0, para averiguar si es máximo o mínimo hay que evaluar EN LA ECUACION ORIGINAL un punto a la izquierda y uno a la derecha de la raiz de preferencia muy muy cerca a la raiz.
tomemos -1 y 1

f(x)= 3x^5 + 5x^3
f(-1)= 3(-1)^5 + 5(-1)^3= -3 -5 = -8
este valor es la pendiente justo antes de llegar al punto (0),
el hecho de que sea negativo significa que va "bajando"

f(1)= 3x^5 + 5x^3
f(1)= 3(1)^5 + 5(1)^3= 3 +5 = 8
como la pendiente es positiva ent después del punto (0)
la curva empieza a subir, por lo tanto si primero baja llega al punto y sube significa que es un mínimo.

Si por el contario fuera (+) y luego (-) indicaria un máximo.

Este es el método para cualquier ecuación sólo hay q derivar y a la derivada sacarle las raíces, por cada raíz hay q determinar si es máx o mín.............

Valor máximo de una función

Valor Minimos Locales

Una función  tiene un minimos locales  en c si f(c) ≤ f(x) cuando x esta cercano a c. 

Esto significa que f(c) ≤ f(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c.

Valor mínimo de una función....

Valor Maximo Absoluto

Una función  tiene un máximo absoluto en c si f(c) ≥ f(x)   para  toda x en D, donde  
 
De es el dominio de f, el numero f(x)  se llama  Valor  Máximo de f  en D.

Valor Minimos Absoluto

Una función  tiene un minimos absoluto en c si f(c) ≤ f(x)   para  toda x en D, donde  
 
De es el dominio de f, el numero f(x)  se llama  Valor  Máximo de f  en D.

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Los Valores Maximos y Minimos de f se conocen como Valores Extremos.

Valor Maximos Locales

Una función  tiene un máximo locales en c si f(c) ≥ f(x) cuando x esta cercano a c. 

Esto significa que f(c) ≥ f(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c..

Número π

π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
π ≈ 3,14159265358979323846... El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.