matematicas

martes, 18 de diciembre de 2012

Derivada de la función coseno
Si f(x) = cos(x)

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}$

A partir de la identidad trigonométrica $\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$ , se puede escribir

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}$

Operando se obtiene:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}$

Como sen(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

$f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}$

El valor de los límites

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}$

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

$f'(x)=-\sin(x) \,$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, $f(x)\,$ , se puede escribir como

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

y $h(x) \ne 0\,$ , entonces la regla dice que la derivada de $g(x)/h(x)\,$ es igual a:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

A partir de la identidad trigonométrica

$\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}$

haciendo:

$g(x)=\sin(x) \,$

$g'(x)=\cos(x) \,$

$h(x)=\cos(x) \,$

$h'(x)=-\sin(x) \,$

sustituyendo resulta

$f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}$

operando

$f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

y aplicando las identidades trigonométricas

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,$

$\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}\,$

resulta:

$f'(x)=\sec^2(x) \,$

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