Número π

π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
π ≈ 3,14159265358979323846... El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

Ejemplos de Exponentes:

1. 5³ = 5 · 5 ·5 = 125

2. 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

3. (-4)² = (-4) · (-4) = 16



Reglas de los Exponentes:

Regla #1

aⁿ · a^m = a ^n+m

Esta regla establece que en multiplicación, cuando las bases son iguales, los exponentes se suman.

Ejemplos:

a. 2² · 2¹ = 2 ²⁺¹ = 2³ = 8 ( 2 ² · 2¹ = 2 · 2· 2 = 2 ³)

b. x³ · x⁴ = x ³⁺⁴ = x⁷ ( x³ · x⁴ = x · x · x · x · x · x · x = x⁷)



Regla #2


(aⁿ)^m = a^nm

Esta regla establece que cuando un exponente está afuera, y uno dentro del paréntesis, se multiplican.

Ejemplos:

a. (a²)³ = a ^2·3 = a⁶ [ (a²)³ = a² ·a² ·a² ;( pero por la regla #1) = a⁶ ]


b. (2²)³ = 2 ^{2 · 3} = 2⁶ = 64 ó (2 ²)³ = (4) ³ = 64
[ (2²)³ = 2² · 2² · 2² = 2⁶]



Regla #3:

(ab)ⁿ = a^{n ·} bⁿ


Cuando hay un producto con un exponente afuera, el exponente le corresponde a cada término; en este caso, a y b.

Propiedades de la función logarítmica

1. El dominio de la función definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
2. es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
3. Tiene límites infinitos en y en .
4. El valor
5. La tangente que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
6. La tangente que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: .
7. La derivada de primer orden es .
8. La derivada de segundo orden es , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con y .
9. La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial: .

 

Función exponencial

Funciones exponenciales
Gráfica de Funciones exponenciales
Definición
Tipo	Función real
Dominio
Codominio
Imagen
Propiedades	Biyectiva Convexa Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada
Función primitiva
Función inversa
Límites
Funciones relacionadas	Logaritmo

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

GRAFICA...

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

 MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS.

.Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.

Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.

En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.

En un punto critico maximo relativo, al pasar la funcion de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.

En un punto critico minimo relativo, la funcion deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos: